PrésentationTrier, comparer, ordonner sont des activités courantes depuis la nuit des temps qui se sont formalisées et perfectionnées en intégrant le domaine des mathématiques sous forme d’inéquations ou de relations d’ordre.C’est en géométrie que sont apparues, de manière explicite, les premières inégalités dans divers problèmes traités par les Grecs de l’Antiquité. On y découvre la plus célèbre d’entre elles : l’inégalité triangulaire.Un tournant dans l’utilisation des inégalités a sans doute été leur introduction en analyse. Ainsi, les notions de limite ou de continuité font appel à des inégalités. On les croiseen calcul différentiel et intégral. En particulier, certaines d’entre elles, dont les plus connues sont celles de Cauchy-Schwarz ou de Minkowski, ont facilité la création de nouveaux espaces, permettant de donner un cadre théorique à la physique.On les retrouve en probabilités, en chimie, en mécanique quantique ou...en sciences sociales pour décrire et analyser un monde d’inégalités. Les inégalitésLe sommaireDossier 1 : Pour mettre un peu d’ordrePour pouvoir parler d’inégalités, il faut tout d’abord être capable de comparer : pour cela, il est nécessaire de définir ce que l’on entend par ordre.Sujets traitésDe l’ordre dans le désordreRésoudre des inéquationsUne histoire de moyennes bien rangéesLes différentes moyennesMoyennes sans motsLa puissance des ensemblesEt l’ordre fut établiDossier 2 : Une origine géométriqueComparer des quantités est une activité des plus naturelles. Avant de connaître toutes les ficelles mathématiques, il est utile de revenir aux origines géométriques de la question, afin de bien visualiser les quantités en jeu.Sujets traitésLes richesses du triangleLe problème de DidonUne inégalité méconnue, celle de PtoléméeÀ peu près pLes domaines du planLa généralisation d’Hornich-HlawkaDossier 3 : L’analyse pour démontrerSi l’intuition géométrique nous sert à comparer, c’est bien l’analyse mathématique qui va nous permettre de quantifier les variations, de majorer ou de minorer.Sujets traitésUn petit florilègeLes inégalités de convexitéL’inégalité de Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz et ses variantesJusque dans les graphes !Tchebychev et les suites monotonesLa symétrie, un outil efficaceDossier 4 : Un outil polyvalentDans nombre de domaines scientifiques, les inégalités jouent un rôle important. C’est le cas, par exemple, en probabilités ou pour les processus relevant de l’optimisation. Beaucoup de phénomènes physiques se modélisent eux aussi par des inégalités.Sujets traitésEn probabilité, l’inégalité de Bienaymé-TchebychevDes résultats pour les nombres premiersLa naissance de la thermodynamiqueTrier un tableauL’indétermination d’HeisenbergLes surprises de la mécanique quantiqueDossier 5 : Un monde d’inégalitésEn sciences économiques et sociales, l’étude des inégalités est un sujet central, qu’
