Introduction à la géométrie des pavages

A l’instar d’un puzzle, l’étude mathématique des pavages cherche à recouvrir le plan avec un nombre limité de types de pièces ; celles-ci devant s’emboîter parfaitement sans chevauchements et sans laisser de trous pour s’étendre … à l’infini. Cette recherche peut sembler au premier abord saugrenue, simpliste et inutile. Détrompez-vous. Elle demande en effet un ensemble hétéroclite d’outils mathématiques tels que trigonométrie, théorie des groupes, analyses combinatoires, suites mathématiques, calculs de limites, calculs vectoriels et matriciels, programmation informatique. De plus, des notions innovantes propres aux pavages sont peu à peu développées et méritent certainement de s’y attarder. Nous parlerons ainsi du nombre de Heesch, des règles de substitution, des protopavés, de la k-similarité, de l’unicité de composition, de la périodicité, des groupes d’automorphisme, des pavages k-isoédriques et des pavages einstein récemment découverts.Une fois les classifications mathématiques des pavages digérées, on rentre dans un champ étonnant de compréhension mathématique des emboîtements des pavés entre eux, nous ouvrant les portes vers la recherche de nouvelles possibilités de pavage. Nous terminerons notre ouvrage en présentant quelques exemples concrets d’application de la science des pavages dans la nature, l’art et la décoration mais aussi en physique, chimie ainsi que dans les domaines industriels.Afin de rendre nos explications compréhensibles pour tous les lecteurs, nous nous sommes limités à n’employer que des notions mathématiques connues par la majorité tout en faisant la part belle aux dessins et schémas.