Quelques thèmes de recherche en mathématiques

Les épistémologues qui étudient l’évolution de la pensée mathématique notent que deux mouvements ont surgi. Le premier correspond à une volonté de résoudre l’opposition entre l’arithmétique et la géométrie et entre la géométrie et l’algèbre. Le second veut reconstruire l’ensemble des mathématiques à partir des correspondances de Langlands qui s’attaquent à l’opposition entre l’algèbre et l’analyse et veulent offrir un dictionnaire unique à la physique de l’avenir.Dans la lignée du premier mouvement, ce fascicule présente cinq thèmes de recherche exposés par l’auteur dans les années qui précèdent aux collègues animateurs du groupe Mathématique-Physique-Supérieur de L’IRES de Toulouse. Ces cinq thèmes sont inspirés de sujets proposés aux candidats à l’épreuve des TIPE de grands concours scientifiques nationaux.Chaque thème comprend le corps du sujet avec des annexes et des compléments où sont données les notions nécessaires à la compréhension du texte et des exercices portant sur le thème choisi avec les réponses proposées. Chaque thème est rédigé a priori de façon autosuffisante, bien que certains thèmes soient liés.Voici les thèmes retenus?: 1 - Éléments de la théorie des nombres cardinaux2 - Une propriété sporadique des sphères3 - La fibration de Clifford-Hopf4 - L’algèbre géométrique de W.K. Clifford d’un plan euclidien5 - L’algèbre de Lie d’un sous-groupe d’un groupe linéaire réelPublic concerné?: Ce travail s’inscrit dans un projet de formation continue. Il peut intéresser les étudiants de licence de mathématiques et de physique, ceux qui sont en master de mathématiques et de physique, les étudiants en classes préparatoires aux grands concours scientifiques notamment pour l’épreuve de TIPE et même les professeurs en exercice pour approfondir leurs connaissances.Sommaire0.1 La théorie des nombres cardinaux 0.2 Une propriété sporadique des sphères 0.3 La fibration de Clifford-Hopf 0.4 Public concerné1 Quelques éléments de la théorie des nombres cardinaux2 Une propriété sporadique des sphères3 La fibration de Clifford-Hopf4 L’algèbre géométrique de Clifford d’un plan euclidien5 L’algèbre de Lie d’un sous-groupe d’un groupe linéaire réel